ULTIMA SEMANA DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES

¿Qué es una DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES?

Una distribución de probabilidad es aquella que permite establecer toda la gama de resultados probables de ocurrir en un experimento determinado. Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro.

Para el caso de ciertos experimentos aleatorios, los mismos muestran características propias que permiten establecer las probabilidades correspondientes a los diferentes valores que pueden adoptar la variable aleatoria por intermedio de una fórmula o modelo matemático que permite su cálculo.

Tenemos diferentes tipos de modelos, según si la variable aleatoria es discreta o continua y, dentro de cada clase de variables, hallaremos también diferentes modelos conforme con las características del experimento analizado.

una variable aleatoria discreta se define como el fenómeno de interés, o en estudio, cuyas respuestas o resultados se pueden expresar numéricamente. La clasificación de discreta obedece a que proviene de un proceso de contar. Es decir, que se refiere a un fenómeno en estudio, cuyo resultado es numérico, y específicamente su resultado es un número natural.

Definimos distribución de probabilidad para variable aleatoria discreta como una relación mutuamente excluyente entre todos los resultados numéricos posibles para esa variable aleatoria y sus respectivas probabilidades de ocurrencia.

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Observe que esta tabla es análoga a una distribución de frecuencias relativas, donde se expresa la probabilidad de ocurrencia en lugar de la frecuencia relativa.

Recuerde que podemos pensar en las distribuciones de probabilidad, como formas teóricas o ideales en el límite de distribuciones de frecuencias relativas cuando el número de observaciones crece y se convierte en un número muy grande, hasta aproximarse al infinito, tal como lo planteamos en el enfoque probabilístico de frecuencias relativas. Es, en parte, por esta razón que podemos pensar en las distribuciones de probabilidad como si fueran distribuciones de poblaciones, y a las distribuciones de frecuencia relativa como distribuciones de muestras de esa población.

Las distribuciones de probabilidad se pueden representar gráficamente como las distribuciones de frecuencia relativa, graficando en ejes coordenados, con los cuales ya nos hemos familiarizado, donde dibujaremos X vs. P(X).

De la misma manera, acumulando probabilidades se obtienen distribuciones de probabilidad acumulada. La función asociada con esta distribución se llama función de distribución de probabilidad. Algunas de estas funciones de distribución de probabilidad que representan fenómenos de interés serán analizadas más adelante.

Recordemos que desde el principio de la materia, al analizar las situaciones profesionales planteadas, era de nuestro interés indagar sobre la muestra o población en estudio, y lo hacíamos a partir de valores de tendencia central, y la distribución de los datos o dispersión en los mismos, a través de valores de dispersión.

A continuación, estudiaremos las características principales de una distribución de probabilidad discreta:

la media o esperanza matemática, y la desviación estándar

Observe que para la distribución de probabilidad del ejemplo de los dados, el valor esperado será:

Note que el valor esperado es un promedio, es decir que este valor conseguido puede interpretarse como que, luego de realizar muchas veces la experiencia de lanzar dos dados y sumar sus resultados, en promedio se conseguirá que la suma es 7.

Distribuciones de variables discretas

En cuanto a los modelos correspondientes a este tipo de variable aleatoria, estudiaremos las siguientes distribuciones especiales de probabilidad:

1. Distribución Binomial

2. Distribución Hipergeométrica

3. Distribución de Poisson

Distribuciones de probabilidad de variable continua

Si observamos los problemas estadísticos que suelen presentarse regularmente en la realidad, veríamos que no todas las variables aleatorias se ajustan a la definición de variables aleatorias discretas.

Es primordial tener claro que la variable aleatoria siempre tomará un número determinado de valores, pero es continua porque puede tomar un número infinito de valores reales.

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta la alcanzamos estableciendo una probabilidad de cada uno de los posibles valores de la variable.

Para el caso de las variables continuas, esto no puede hacerse de la misma forma, no es posible matemáticamente establecer probabilidades distintas de cero al número infinito de valores que puede adoptar este tipo de variable, por consiguiente, habrá que desarrollar otro método para asignar probabilidades en este caso.

En este método, es necesario recapitular lo estudiado en el tema distribuciones de frecuencias de variables aleatorias continuas. En dicha ocasión, a partir de la tabla de distribución de frecuencias, elaboramos el gráfico correspondiente, llamado histograma, que podía ser de frecuencias absolutas o relativas.

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En el momento que estudiamos probabilidad, pudimos analizar que, si el conjunto de observaciones era muy grande (tiende a infinito) el valor de la frecuencia relativa tiende a la probabilidad (teoría frecuencial de la probabilidad).

Por lo tanto, si tenemos una gran cantidad de datos, podemos aseverar que la superficie encerrada por el histograma de frecuencias relativas entre dos valores de la variable, presenta la probabilidad de encontrar un valor de la misma comprendido entre los dos dados.

También tuvimos oportunidad de observar que el polígono de frecuencias es otro gráfico de superficie que se utiliza para este tipo de variable, su superficie es igual a la del histograma correspondiente. Por lo mencionado, se puede afirmar lo mismo respecto de la superficie encerrada por el polígono de frecuencia relativa entre dos valores de la variable aleatoria.

Por lo tanto, hemos logrado como resultado una nueva variable (z) que toma el nombre de variable normal estándar y sus valores se obtienen de la siguiente forma:

De este modo, logramos que a toda distribución normal se le haga corresponder una única distribución normal llamada distribución normal estandarizada, esta relación se establece de forma tal que la superficie encerrada entre dos valores (a y b) de una distribución normal es igual a la superficie encerrada entre los correspondientes
valores Za y Zb de la distribución normal estandarizada (figura 10).

De esta forma podemos recurrir a una única tabla que nos dará la superficie (probabilidad) buscada. La variable Z, entonces, tiene distribución normal con media μ = 0 y desviación estándar σ = 1. Simbólicamente: Z símbolo N(0;1)